What is the range of f(x) = 1/(x² + 4x + 5)?फलन f(x) = 1/(x² + 4x + 5) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (0, 1](0, 1]
The governing idea is to rewrite the quadratic denominator by completing the square: x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1. Since (x + 2)² is always non-negative, the denominator is at least 1 and is exactly 1 when x = −2. Therefore f(x) is positive, never exceeds 1, and equals 1 at x = −2. As |x| becomes very large, the denominator increases without bound, so f(x) approaches 0 but never equals 0. Every value strictly between 0 and 1 is obtained because the denominator can take every value from 1 upward. Hence the range is (0, 1]. Option B incorrectly gives the denominator-type interval, while C includes impossible negative values and D wrongly includes values greater than 1.मुख्य विचार हर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखना है: x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1। चूँकि (x + 2)² सदैव शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए हर का न्यूनतम मान 1 है और यह मान x = −2 पर प्राप्त होता है। अतः f(x) धनात्मक रहेगा और इसका अधिकतम मान 1 होगा। जब |x| बहुत बड़ा होता है, तब हर अनंत की ओर बढ़ता है और फलन का मान 0 के निकट पहुँचता है, परंतु कभी 0 नहीं बनता। हर 1 से बड़े प्रत्येक मान को ले सकता है, इसलिए उसका व्युत्क्रम 0 और 1 के बीच का प्रत्येक मान लेता है। इस प्रकार परिसर (0, 1] है। विकल्प B हर के मानों को दर्शाता है, C में असंभव ऋणात्मक मान हैं और D में 1 से बड़े अनुचित मान शामिल हैं।
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