What is the domain of (f(x)=\sqrt{\frac{x^2-4}{9-x^2}})?फलन (f(x)=\sqrt{\frac{x^2-4}{9-x^2}}) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((-3,-2]\cup[2,3))((-3,-2]\cup[2,3))
The direct answer is A: \\( (-3,-2]\cup[2,3) \\). A square root requires the fraction to be non-negative, and the denominator cannot be zero. Thus \\( (x^2-4)/(9-x^2)\ge0\\), with x not equal to ±3. Factor: \\(x^2-4=(x-2)(x+2)\\) and \\(9-x^2=(3-x)(3+x)\\). The critical points are -3,-2,2,3. Testing intervals gives positive values on \\((-3,-2]\\) and \\([2,3)\\); the zeros -2 and 2 are included, while -3 and 3 are excluded because the denominator is zero. A is correct. B includes values between -2 and 2, where the fraction is negative. C uses outside intervals, where the fraction is negative. D includes forbidden points and also intervals with negative radicand. Exam cue: include numerator zeros, exclude denominator zeros, then use a sign chart.सीधा उत्तर A है: \\( (-3,-2]\cup[2,3) \\)। वर्गमूल के लिए भिन्न का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \\( (x^2-4)/(9-x^2)\ge0\\), साथ में x=±3 वर्जित हैं। गुणनखंड हैं \\(x^2-4=(x-2)(x+2)\\) और \\(9-x^2=(3-x)(3+x)\\)। critical points -3,-2,2,3 हैं। प्रत्येक interval में चिन्ह जाँचने पर धनात्मक भाग \\((-3,-2]\\) और \\([2,3)\\) मिलते हैं। -2 और 2 numerator को शून्य बनाते हैं, इसलिए शामिल हैं; -3 और 3 denominator को शून्य बनाते हैं, इसलिए बाहर हैं। A सही है। B के बीच वाले भाग में भिन्न negative है। C के बाहरी भागों में भी भिन्न negative है। D गलत है क्योंकि उसमें denominator के शून्य और negative-radicand वाले भाग शामिल हैं। संकेत: numerator zero को include करें, denominator zero को exclude करें।
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