What is the range of (f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})?फलन (f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((-1,1))((-1,1))
The denominator \(\sqrt{x^2+1}\) is always positive because \(x^2+1\ge1\). Also, \(x^2+1>x^2\), so taking positive square roots gives \(\sqrt{x^2+1}>|x|\). Consequently, the absolute value of the fraction is strictly less than 1. This places every function value strictly between \(-1\) and \(1\).
More precisely, \(|f(x)|=|x|/\sqrt{x^2+1}<1\), so \(-1<f(x)<1\). The endpoints cannot occur for any finite real \(x\), although the values approach them as \(x\) becomes very large positive or negative. Every number strictly between these endpoints is attained, for example by solving the equation for \(x\). Hence the range is \((-1,1)\), option A.हर \(\sqrt{x^2+1}\) हमेशा धनात्मक है, क्योंकि \(x^2+1\ge1\)। साथ ही \(x^2+1>x^2\), इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर \(\sqrt{x^2+1}>|x|\) मिलता है। इस कारण भिन्न का परिमाण 1 से छोटा रहता है। अतः फलन का प्रत्येक मान \(-1\) और \(1\) के बीच होता है।
वास्तव में \(|f(x)|=|x|/\sqrt{x^2+1}<1\), इसलिए \(-1<f(x)<1\)। कोई सीमित वास्तविक \(x\) ऐसा नहीं है जिससे मान ठीक \(-1\) या \(1\) हो जाए, हालांकि बहुत बड़े धनात्मक या ऋणात्मक \(x\) पर मान इन सीमाओं के पास पहुँचता है। दोनों सीमाओं के बीच के सभी मान प्राप्त होते हैं। इसलिए परिसर \((-1,1)\) है और विकल्प A सही है।
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