If f(x) = 3/(x² − 2x + 2) + 1, what is the range of f?यदि f(x) = 3/(x² − 2x + 2) + 1, तो f का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1, 4](1, 4]
Complete the square in the denominator: x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1. Therefore the denominator is at least 1 and is always positive. Let d = (x − 1)² + 1, so d ≥ 1. Then 3/d lies in (0, 3], because it equals 3 when d = 1, which occurs at x = 1, and it approaches 0 as |x| becomes large but never equals 0. Adding 1 shifts every value upward by 1, giving the range (1, 4]. The upper endpoint 4 is included at x = 1, while the lower endpoint 1 is excluded because the positive fraction can never be zero. Hence option A is correct. Option B incorrectly includes 1, C omits values between 1 and 4, and D includes impossible negative outputs.हर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1। इसलिए हर का न्यूनतम मान 1 है और वह हमेशा धनात्मक रहता है। d = (x − 1)² + 1 मानें, तो d ≥ 1। अब 3/d का मान (0, 3] में होगा। d = 1, अर्थात x = 1 पर 3/d = 3 प्राप्त होता है, जबकि |x| बहुत बड़ा होने पर यह 0 के पास जाता है, परंतु कभी शून्य नहीं होता। अंत में 1 जोड़ने पर परिसर (1, 4] हो जाता है। 4 शामिल है क्योंकि x = 1 पर वह प्राप्त होता है, लेकिन 1 शामिल नहीं है क्योंकि धनात्मक भिन्न शून्य नहीं हो सकती। अतः विकल्प A सही है। B में 1 गलत रूप से शामिल है, C बीच के मान हटाता है और D असंभव ऋणात्मक मान जोड़ता है।
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