What is the range of the function \(f(x)=7-(x+3)^2\)?फलन \(f(x)=7-(x+3)^2\) का परास (range) क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(( -\infty, 7]\)\(( -\infty, 7]\)
For every real \(x\), \((x+3)^2\geq 0\). Hence \(f(x)=7-(x+3)^2\leq 7\). At \(x=-3\), the squared term is zero, so \(f(-3)=7\); thus 7 is the maximum value and is included in the range. As \(|x+3|\) increases, \(f(x)\) decreases without bound. Therefore, the range is \(( -\infty, 7]\). The interval \([7,\infty)\) is incorrect because the function cannot take a value greater than 7. Exam tip: a parabola of the form \(a-(x-h)^2\) has maximum value \(a\).प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \((x+3)^2\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=7-(x+3)^2\leq 7\)। जब \(x=-3\) होता है, तब वर्ग पद शून्य है और \(f(-3)=7\), अतः 7 अधिकतम मान है तथा यह परास में शामिल होगा। जैसे-जैसे \(|x+3|\) बढ़ता है, \(f(x)\) बिना सीमा के घटता जाता है। इसलिए परास \(( -\infty, 7]\) है। \([7,\infty)\) गलत है क्योंकि फलन 7 से बड़ा कोई मान नहीं ले सकता। परीक्षा-युक्ति: \(a-(x-h)^2\) के रूप के परवलय का अधिकतम मान \(a\) होता है।
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