If f(x) = √(2 − |x − 1|), what is the range of f?यदि f(x) = √(2 − |x − 1|) है, तो f का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: [0, √2][0, √2]
First impose the real-valued condition for the square root: 2 − |x − 1| ≥ 0, or |x − 1| ≤ 2. The expression inside the radical therefore varies from 0 to 2. Its maximum 2 occurs at x = 1, while the minimum 0 occurs at x = −1 and x = 3. Because the square-root function is nonnegative and increasing on nonnegative inputs, taking the square root changes the interval [0, 2] into [0, √2]. Both endpoints are actually attained, so they must be included. Hence option A is correct. Option B confuses the radicand with the function value, option C incorrectly permits negative outputs, and option D excludes attainable endpoint values.सबसे पहले वर्गमूल को वास्तविक बनाने की शर्त लगाते हैं: 2 − |x − 1| ≥ 0, अर्थात |x − 1| ≤ 2। इसलिए वर्गमूल के भीतर की राशि 0 से 2 तक सभी मान लेती है। इसका अधिकतम मान 2 तब मिलता है जब x = 1 हो, जबकि न्यूनतम मान 0, x = −1 और x = 3 पर मिलता है। वर्गमूल फलन का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है और गैर-ऋणात्मक संख्याओं पर बढ़ता है। इसलिए [0, 2] का वर्गमूल लेने पर f का परिसर [0, √2] प्राप्त होता है। दोनों सिरों के मान वास्तव में प्राप्त होते हैं, इसलिए उन्हें शामिल करना होगा। अतः विकल्प A सही है। B अंदर की राशि को ही फलन का परिसर मानता है, C ऋणात्मक मानों को गलत रूप से शामिल करता है और D प्राप्त होने वाले सिरों को हटा देता है।
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