What is the maximum value of f(x) = 1/(x² + 2x + 5)?फलन f(x) = 1/(x² + 2x + 5) का अधिकतम मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1/41/4
The key concept is completing the square and then using the fact that a positive fraction is largest when its denominator is smallest. Rewrite the denominator as x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4. Since (x + 1)² ≥ 0 for every real x, the denominator is at least 4, and its minimum value 4 occurs at x = −1. Consequently, f(x) = 1/[(x + 1)² + 4] ≤ 1/4, with equality at x = −1. Therefore the maximum value is 1/4, so option A is correct. Option B would result from incorrectly treating the constant 5 as the minimum denominator; options C and D are larger than the permitted reciprocal and do not follow from the denominator bound.यहाँ मुख्य विचार वर्ग पूर्ण करना और यह समझना है कि धनात्मक हर वाली भिन्न का अधिकतम मान तब मिलता है जब हर न्यूनतम हो। हर को x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 के रूप में लिखते हैं। प्रत्येक वास्तविक x के लिए (x + 1)² ≥ 0 होता है, इसलिए हर का न्यूनतम मान 4 है। यह न्यूनतम x = −1 पर प्राप्त होता है। अतः f(x) = 1/[(x + 1)² + 4] ≤ 1/4 और x = −1 पर समानता मिलती है। इसलिए फलन का अधिकतम मान 1/4 है और विकल्प A सही है। विकल्प B में 5 को गलत रूप से न्यूनतम हर मान लिया गया है, जबकि C और D ऐसे मान हैं जो हर की न्यूनतम सीमा से संभव नहीं हो सकते।
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