If f(x) = x + 1/x and x > 0, what is the range of f?यदि f(x) = x + 1/x और x > 0 है, तो f का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: [2, ∞)[2, ∞)
The governing idea is to determine the least possible value of a function on its stated domain. Since x > 0, both x and 1/x are positive. By AM-GM, x + 1/x ≥ 2√(x·1/x) = 2. Equality is possible when x = 1/x, which gives x² = 1; the positive-domain condition selects x = 1. At this value f(1) = 2. As x tends to 0 from the right or as x tends to infinity, f(x) increases without bound, so every value greater than or equal to 2 is attained. Therefore the range is [2, ∞), making option A correct. Option B incorrectly includes negative values, option C omits values below 2, and option D ignores the lower bound.इस प्रश्न में फलन के दिए गए प्रांत पर उसका न्यूनतम मान ज्ञात करना मुख्य विचार है। चूँकि x > 0 है, इसलिए x और 1/x दोनों धनात्मक हैं। AM-GM असमानता से x + 1/x ≥ 2√(x·1/x) = 2 प्राप्त होता है। समानता तब होगी जब x = 1/x, अर्थात x² = 1; दिए गए धनात्मक प्रतिबंध के कारण x = 1 लिया जाएगा। तब f(1) = 2 मिलता है। x के 0 के दाईं ओर से निकट जाने या बहुत बड़ा होने पर फलन का मान बिना सीमा के बढ़ता है, इसलिए 2 से बड़ा प्रत्येक मान प्राप्त हो सकता है। अतः परिसर [2, ∞) है और विकल्प A सही है। विकल्प B में अनावश्यक ऋणात्मक मान हैं, C में 2 से कम मान भी हैं और D न्यूनतम सीमा की उपेक्षा करता है।
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