If (f(x)=\sqrt{9-(x-1)^2}), what is the domain?यदि (f(x)=\sqrt{9-(x-1)^2}) है तो प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( [-2,4] )( [-2,4] )
The direct answer is option A: the domain is [−2,4]. A square root is real only when its radicand is at least zero, so 9−(x−1)²≥0. Rearranging gives (x−1)²≤9, which is equivalent to |x−1|≤3. Therefore −3≤x−1≤3. Adding 1 throughout gives −2≤x≤4, hence the closed interval [−2,4]. The endpoints are included because the radicand becomes zero there, and √0 is defined. Option A is correct. Option B, (−2,4), wrongly removes the endpoints. Option C, [−4,2], shifts the interval incorrectly and does not represent numbers within 3 units of 1. Option D describes values outside the interval, where the radicand is negative and the square root is not real. A helpful picture is a centre 1 and radius 3: all x-values from 1−3 to 1+3 are allowed. Memory cue: for √(9−(x−1)²), stay within 3 units of 1 and include the boundaries.सीधा उत्तर विकल्प A है: प्रांत [−2,4] है। वर्गमूल वास्तविक होने के लिए उसके अंदर का मान कम से कम 0 होना चाहिए। इसलिए 9−(x−1)²≥0। इसे बदलकर (x−1)²≤9 लिखते हैं। इसका अर्थ |x−1|≤3 है, अर्थात् −3≤x−1≤3। तीनों भागों में 1 जोड़ने पर −2≤x≤4 मिलता है। इसलिए प्रांत [−2,4] होगा। सिरों को शामिल किया जाएगा, क्योंकि x=−2 या x=4 पर मूल के अंदर 0 आता है और √0 परिभाषित है। विकल्प A सही है। विकल्प B, (−2,4), सिरों को गलत रूप से हटा देता है। विकल्प C, [−4,2], केंद्र को गलत स्थान पर रखता है और 1 से 3 इकाई के भीतर वाला सही अंतराल नहीं है। विकल्प D अंतराल के बाहर के मान देता है; वहाँ मूल के अंदर ऋणात्मक होगा, इसलिए वास्तविक वर्गमूल नहीं मिलेगा। इसे केंद्र 1 और त्रिज्या 3 वाले अंतराल की तरह सोचें: 1−3=−2 और 1+3=4। याद रखें: “≤” होने पर endpoints शामिल होते हैं।
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