If f(x) = log₂(7 - 2x), what is the domain of f?यदि f(x) = log₂(7 - 2x) है, तो f का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (-∞, 7/2)(-∞, 7/2)
The governing logarithm rule is that its argument must be strictly positive. Therefore 7 - 2x > 0. Solving the inequality, subtracting 7 gives -2x > -7, and dividing by -2 reverses the inequality: x < 7/2. The endpoint x = 7/2 is excluded because the logarithm of zero is undefined; it is not enough for the argument merely to be non-negative. The base 2 is valid because it is positive and not equal to 1, but the base does not change the domain restriction here. Hence the domain is (-∞, 7/2), so option A is correct. Option B wrongly includes the endpoint, C reverses the inequality, and D ignores the logarithm condition.लघुगणक का मूल नियम है कि उसके तर्क का मान strictly positive, अर्थात शून्य से बड़ा, होना चाहिए। इसलिए 7 - 2x > 0। इसे हल करने पर -2x > -7 मिलता है। ऋणात्मक संख्या -2 से भाग देने पर असमानता की दिशा बदलती है और x < 7/2 प्राप्त होता है। x = 7/2 को शामिल नहीं किया जा सकता, क्योंकि उस स्थिति में लघुगणक का तर्क शून्य होगा और log₂0 परिभाषित नहीं है। आधार 2 मान्य है, क्योंकि वह धनात्मक है और 1 के बराबर नहीं है; फिर भी आधार इस डोमेन-प्रतिबंध को नहीं बदलता। अतः प्रांत (-∞, 7/2) है। इसलिए A सही है; B endpoint को गलत ढंग से शामिल करता है, C असमानता उलट देता है और D लघुगणक की आवश्यक शर्त को अनदेखा करता है।
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