If \(f(x)=x^2-4x+7\), where \(x\in\mathbb{R}\), what is the range of \(f\)?यदि \(f(x)=x^2-4x+7\), जहाँ \(x\in\mathbb{R}\), तो \(f\) का परास क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \([3,\infty)\)\([3,\infty)\)
Rewrite the function by completing the square: \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\). Since \((x-2)^2\geq 0\), we have \(f(x)\geq 3\). At \(x=2\), the squared term is zero, so the minimum value \(3\) is actually attained. Hence, the range is \([3,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes the attainable value \(3\). Exam tip: for an upward-opening quadratic, the range begins at the vertex’s \(y\)-coordinate.\(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\)। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), इसलिए \(f(x)\geq 3\)। \(x=2\) पर \((x-2)^2=0\), अतः न्यूनतम मान \(3\) वास्तव में प्राप्त होता है। इसलिए परास \([3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(3\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऊपर की ओर खुलने वाले द्विघात फलन का परास उसके शीर्ष के \(y\)-निर्देशांक से शुरू होता है।
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