What is the range of f(x) = sqrt((x - 2)^2 + 7)?फलन f(x) = √((x - 2)² + 7) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: [√7, ∞)[√7, ∞)
The governing idea is that a square is always non-negative. Thus (x - 2)^2 ≥ 0 for every real x, so (x - 2)^2 + 7 ≥ 7. Taking the non-negative square root gives f(x) ≥ √7. Equality is actually attained when x - 2 = 0, that is, at x = 2; hence √7 must be included in the range. As x moves away from 2, the square term can become arbitrarily large, so the function values increase without bound. Consequently the range is [√7, ∞). Option B incorrectly uses 7 instead of its square root, option C wrongly excludes the attainable minimum, and option D ignores the lower bound. Therefore option A is correct.इस फलन के परिसर के लिए मुख्य तथ्य है कि किसी भी वास्तविक x के लिए (x - 2)² ≥ 0 होता है। इसलिए (x - 2)² + 7 ≥ 7 और उसका वर्गमूल f(x) ≥ √7 होगा। न्यूनतम मान वास्तव में प्राप्त होता है, क्योंकि x = 2 रखने पर (x - 2)² = 0 और f(2) = √7 मिलता है। इसलिए √7 को परिसर में शामिल करना आवश्यक है। x का मान 2 से जितना दूर होता जाता है, वर्ग पद उतना बड़ा होता जाता है और फलन के मान बिना किसी ऊपरी सीमा के बढ़ सकते हैं। अतः परिसर [√7, ∞) है। विकल्प B में वर्गमूल लेना छूट गया है, C न्यूनतम मान को गलत रूप से बाहर करता है और D निचली सीमा की अनदेखी करता है। इसलिए A सही उत्तर है।
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