What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{4-x})?फलन (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{4-x}) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((-1,4])((-1,4])
A real-valued function can use a square root only when its radicand is non-negative. However, a square root in a denominator must also be nonzero, because division by zero is not defined. Thus the first term requires \(x+1>0\), not merely \(x+1\ge0\). The second term requires \(4-x\ge0\). These conditions must hold together.
Solving the first inequality gives \(x>-1\), while the second gives \(x\le4\). Their intersection is \(-1<x\le4\), written as \((-1,4]\). The value \(-1\) is excluded because it makes the denominator zero, whereas \(4\) is included because the second square root is then zero and the first term remains defined. Therefore option A is correct.वास्तविक मान वाले फलन में वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं हो सकती। लेकिन जो वर्गमूल हर में है, वह शून्य भी नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं होता। इसलिए पहले पद के लिए \(x+1>0\) चाहिए, केवल \(x+1\ge0\) पर्याप्त नहीं है। दूसरे पद के लिए \(4-x\ge0\) आवश्यक है। दोनों शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए।
पहली असमिका से \(x>-1\) और दूसरी से \(x\le4\) मिलता है। अतः दोनों का प्रतिच्छेद \(-1<x\le4\), अर्थात \((-1,4]\), है। \(-1\) इसलिए शामिल नहीं है क्योंकि उससे हर शून्य हो जाता है। \(4\) शामिल है क्योंकि उस पर दूसरा वर्गमूल शून्य हो जाता है, जबकि पहला पद परिभाषित रहता है। इसलिए विकल्प A सही है।
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