What is the domain of the function (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}})?फलन (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (x>2)(x>2)
The direct answer is option A: the domain is x>2, or (2,∞). For a square root to be real, its radicand must be at least zero. Here x−2≥0 would be needed for the root itself, but the root is in the denominator, and a denominator cannot equal zero. Therefore we need √(x−2)>0, which is equivalent to x−2>0. Adding 2 gives x>2. Option A is correct. Option B, x≥2, incorrectly includes x=2; at x=2 the denominator is √0=0, so division is undefined. Option C, x<2, makes x−2 negative, so the square root is not real. Option D, x≠2, is too broad because values such as x=1 also make the radicand negative. Thus both restrictions matter: the radicand must be nonnegative and the denominator must be nonzero. Memory cue: a square root in a denominator requires a strictly positive radicand.सीधा उत्तर विकल्प A है: प्रांत x>2, अर्थात् (2,∞) है। वास्तविक वर्गमूल के लिए मूल के अंदर का मान कम से कम 0 होना चाहिए। यहाँ वर्गमूल हर में है, इसलिए केवल x−2≥0 पर्याप्त नहीं है; हर शून्य भी नहीं हो सकता। इसलिए √(x−2)>0 चाहिए, जिसका अर्थ x−2>0 है। दोनों तरफ 2 जोड़ने पर x>2 मिलता है। विकल्प A सही है। विकल्प B, x≥2, में x=2 शामिल है, लेकिन x=2 पर हर √0=0 होगा और शून्य से भाग देना संभव नहीं है। विकल्प C, x<2, में x−2 ऋणात्मक होगा, इसलिए वास्तविक वर्गमूल परिभाषित नहीं होगा। विकल्प D, x≠2, बहुत बड़ा प्रांत देता है; उदाहरण के लिए x=1, 2 से अलग है, फिर भी मूल के अंदर −1 आता है और फलन वास्तविक नहीं रहता। इसलिए दोनों शर्तें याद रखें: मूल के अंदर मान धनात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए। परीक्षा-सूत्र: हर में वर्गमूल हो तो radicand को strictly positive रखें।
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