What is the range of f(x) = (x² + 5)/(x² + 1)?फलन f(x) = (x² + 5)/(x² + 1) की रेंज क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1, 5](1, 5]
Rewrite the expression as f(x) = (x²+1+4)/(x²+1) = 1 + 4/(x²+1). For every real x, x² is non-negative, so x²+1 is at least 1 and is always positive. Consequently, 4/(x²+1) is positive and cannot exceed 4. Its largest value, 4, occurs when x=0, giving f(0)=5; hence 5 is included. As |x| increases without bound, 4/(x²+1) approaches 0, so f(x) approaches 1. However, the fraction is never exactly zero for any real finite x, so 1 is not attained. Therefore the range is (1,5], making option A correct. Option B incorrectly includes the unattainable value 1, while C and D do not give the correct lower and upper bounds.दिए गए फलन को f(x)=(x²+1+4)/(x²+1)=1+4/(x²+1) के रूप में लिखते हैं। प्रत्येक वास्तविक x के लिए x²≥0 होता है, इसलिए x²+1 सदैव धनात्मक और कम-से-कम 1 होता है। इस कारण 4/(x²+1) धनात्मक रहता है और उसका अधिकतम मान 4 हो सकता है। x=0 पर यह मान 4 मिलता है, इसलिए f(0)=5 और 5 रेंज में शामिल है। जब |x| बहुत बड़ा होता है, तब 4/(x²+1) शून्य के बहुत निकट पहुँचता है, इसलिए f(x) 1 के निकट पहुँचता है; लेकिन किसी सीमित वास्तविक x के लिए यह भिन्न शून्य नहीं हो सकता। अतः 1 शामिल नहीं है और रेंज (1,5] है। इसलिए विकल्प A सही है। B में 1 को गलत रूप से शामिल किया गया है, जबकि C और D सही सीमाएँ नहीं बताते।
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