What is the range of (f(x)=\frac{3}{x^2+2}-5)?फलन (f(x)=\frac{3}{x^2+2}-5) की रेंज क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((-5,-\frac{7}{2}])((-5,-\frac{7}{2}])
The direct answer is option A: the range is (−5,−7/2]. Put t=x². Since x²≥0, t≥0, so x²+2≥2. Consequently 0<3/(x²+2)≤3/2. The largest value 3/2 occurs when x=0. The fraction never equals 0, although it approaches 0 as |x| becomes very large. Subtracting 5 shifts every value left by 5, giving −5< f(x)≤−5+3/2=−7/2. Thus the range is (−5,−7/2]. Option A correctly excludes −5 and includes −7/2. Option B wrongly includes −5, which is impossible for a finite x. Option C is the range of the fraction before subtracting 5, not of the complete function. Option D is wrong because the function is always greater than −5 and never reaches values below it. Exam cue: a positive reciprocal has an open lower endpoint when its denominator can grow without limit.सीधा उत्तर विकल्प A है: रेंज (−5,−7/2] है। x² को t मानें। क्योंकि x²≥0, इसलिए x²+2≥2 होगा। अतः 3/(x²+2) का मान 0 से बड़ा और अधिकतम 3/2 तक होगा। अधिकतम 3/2 तब मिलता है जब x=0 हो। भिन्न का मान कभी 0 नहीं होता, हालांकि |x| बहुत बड़ा होने पर वह 0 के बहुत पास पहुँचता है। अब पूरे फलन में 5 घटाया गया है, इसलिए सभी मान 5 बाईं ओर खिसकेंगे: −5< f(x)≤3/2−5=−7/2। इसलिए रेंज (−5,−7/2] है। विकल्प A सही है, क्योंकि −5 शामिल नहीं है और −7/2 शामिल है। विकल्प B गलत है क्योंकि −5 किसी सीमित x के लिए प्राप्त नहीं होता। विकल्प C केवल 3/(x²+2) की रेंज है, पूरे फलन की नहीं। विकल्प D गलत है, क्योंकि फलन हमेशा −5 से बड़ा रहता है और उससे नीचे नहीं जा सकता। याद रखें: हर बढ़ने पर धनात्मक भिन्न 0 के पास जाती है, पर सामान्यतः 0 नहीं बनती।
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