What is the range of (f(x)=\frac{4}{x^2+5}-1)?फलन (f(x)=\frac{4}{x^2+5}-1) की रेंज क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((-1,-\frac{1}{5}])((-1,-\frac{1}{5}])
Direct answer: The range is \((-1,-\frac{1}{5}]\), so option A is correct. For every real x, x^2≥0, hence x^2+5≥5. Therefore 0<4/(x^2+5)≤4/5. The value 4/5 occurs at x=0. The fraction can approach 0 when |x| becomes very large, but it never equals 0, so its range is (0,4/5]. Subtracting 1 from every value shifts the interval left by 1, giving (-1, -1+4/5] = (-1,-1/5]. Option A has the correct open lower end and closed upper end. Option B wrongly includes −1, which is impossible. Option C is the range before the subtraction and misses the shift. Option D includes values below −1 that cannot occur. Memory cue: denominator is smallest at x=0, giving the maximum; infinity is approached but never reached.सीधा उत्तर: फलन की रेंज \((-1,-\frac{1}{5}]\) है, इसलिए विकल्प A सही है। प्रत्येक वास्तविक x के लिए x^2≥0 होता है, इसलिए x^2+5≥5। अतः 0<4/(x^2+5)≤4/5। x=0 पर 4/5 प्राप्त होता है। जब |x| बहुत बड़ा होता है, भिन्न का मान 0 के बहुत पास पहुँचता है, पर 0 कभी नहीं बनता। इसलिए 4/(x^2+5) की रेंज (0,4/5] है। अब पूरे फलन में 1 घटाया गया है, इसलिए रेंज 1 बाईं ओर खिसकेगी: (-1, -1+4/5] = (-1,-1/5]। विकल्प A में निचला सिरा खुला और ऊपरी सिरा बंद है, जो सही है। विकल्प B −1 को शामिल करता है, जबकि वह संभव नहीं है। विकल्प C घटाव से पहले की रेंज है। विकल्प D −1 से छोटे मान देता है, जो नहीं आ सकते। याद रखें: हर का न्यूनतम मान x=0 पर होता है, इसलिए वहाँ अधिकतम मान मिलता है।
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