What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{16-x^2}})?फलन (f(x)=\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}) का डोमेन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((-4,4))((-4,4))
The direct answer is A, \\((-4,4)\\). A real square root requires its radicand to be nonnegative, but here the square root is in the denominator, so the radicand must actually be positive: \\(16-x^2>0\\). This gives \\(x^2<16\\), hence \\(-4<x<4\\). The endpoints cannot be included because at x=4 or x=-4 the denominator becomes zero, and division by zero is undefined. Option A is correct. Option B includes the endpoints, so it incorrectly allows denominator zero. Option C describes values outside the interval, where \\(16-x^2<0\\) and the square root is not real. Option D excludes only the endpoints but includes outside values, which also fail the real-square-root condition. Exam cue: a square root in a denominator needs a strictly positive radicand.सीधा उत्तर A, \\((-4,4)\\) है। वास्तविक वर्गमूल के लिए अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, लेकिन यहाँ वर्गमूल हर में है। इसलिए अंदर का मान शून्य भी नहीं हो सकता; शर्त है \\(16-x^2>0\\)। इससे \\(x^2<16\\), अर्थात \\(-4<x<4\\) मिलता है। x=4 या x=-4 पर हर शून्य हो जाएगा और शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B endpoints को शामिल करता है, इसलिए गलत है। विकल्प C में interval के बाहर के x हैं; वहाँ \\(16-x^2<0\\), इसलिए वास्तविक वर्गमूल नहीं बनता। विकल्प D केवल endpoints हटाता है, लेकिन बाहर के ऐसे x भी रखता है जहाँ वर्गमूल वास्तविक नहीं है। परीक्षा-सूत्र: हर में वर्गमूल हो तो radicand strictly positive होना चाहिए।
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