If (f(x)=x^2-4x+1), what is the minimum value of (f(x))?यदि (f(x)=x^2-4x+1) है, तो (f(x)) की न्यूनतम वैल्यू क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( -3)( -3)
The direct answer is option A, -3. To find the minimum of a quadratic, complete the square: x^2-4x+1=(x^2-4x+4)-3=(x-2)^2-3. A square is always at least zero, so (x-2)^2≥0. Its smallest possible value is 0, reached when x=2. Therefore f(x) is at least -3, and the minimum value is -3. Option A is correct. Option B, 1, is the constant term of the original expression, but it is not the minimum. Option C, 3, ignores the negative adjustment produced while completing the square. Option D, 5, is larger than the actual minimum and cannot be obtained as the least value because the square term can be zero. The important idea is that a positive square plus a constant has its minimum when the square becomes zero. Exam cue: rewrite every quadratic in the form (x-a)^2+b; its minimum is b when the coefficient of the square is positive.सीधा उत्तर विकल्प A, -3 है। द्विघात व्यंजक का न्यूनतम मान निकालने के लिए पूर्ण वर्ग बनाइए: x^2-4x+1=(x^2-4x+4)-3=(x-2)^2-3। किसी भी वास्तविक x के लिए (x-2)^2≥0 होता है। उसका सबसे छोटा मान 0 है, जो x=2 पर मिलता है। इसलिए f(x) का सबसे छोटा मान 0-3=-3 है। विकल्प A सही है। विकल्प B का 1 मूल व्यंजक का constant term है, लेकिन वह न्यूनतम मान नहीं है। विकल्प C का 3 पूर्ण वर्ग बनाते समय आने वाले ऋणात्मक 3 को नज़रअंदाज़ करने से मिलता है, इसलिए गलत है। विकल्प D का 5 वास्तविक न्यूनतम से बड़ा है; square term को शून्य किया जा सकता है, इसलिए 5 न्यूनतम नहीं हो सकता। मुख्य विचार यह है कि धनात्मक square और constant वाले व्यंजक का minimum तब आता है जब square शून्य हो। परीक्षा संकेत: quadratic को (x-a)^2+b के रूप में लिखें; positive square होने पर minimum b होता है।
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