What is the domain of (f(x)=\sqrt{(x-2)(x-6)})?फलन (f(x)=\sqrt{(x-2)(x-6)}) का डोमेन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((-\infty,2]\cup[6,\infty))((-\infty,2]\cup[6,\infty))
The direct answer is option A: (-\infty,2]\cup[6,\infty) . A square root is real only when its radicand, the expression inside it, is non-negative. Therefore we need (x-2)(x-6)≥0. The critical values are 2 and 6. For x<2 both factors are negative, so their product is positive; at x=2 it is zero. Between 2 and 6 the factors have opposite signs, so the product is negative. For x>6 both are positive, so the product is positive; x=6 is also included. Thus the domain is the two outer intervals. Option A is correct. Option B, [2,6], contains values where the product is negative, so the square root is not real. Option C, (2,6), has the same problem and also wrongly excludes endpoints. Option D excludes only 2 and 6, but it includes forbidden values such as 3. Memory cue: for a product of two linear factors with a positive sign outside, the non-negative regions lie outside the two roots.सीधा उत्तर विकल्प A है: (-\infty,2]\cup[6,\infty) । वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए (x-2)(x-6)≥0 होना आवश्यक है। महत्वपूर्ण मान 2 और 6 हैं। x<2 पर दोनों गुणक ऋणात्मक हैं, इसलिए उनका गुणनफल धनात्मक है; x=2 पर वह शून्य है। 2 और 6 के बीच दोनों गुणकों के चिह्न अलग हैं, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। x>6 पर दोनों धनात्मक हैं और x=6 पर गुणनफल शून्य है। इसलिए बाहरी दोनों अंतराल शामिल होंगे। विकल्प A सही है। विकल्प B [2,6] में 3 जैसे मान आते हैं, जहाँ वर्गमूल के अंदर ऋणात्मक संख्या आती है। विकल्प C (2,6) भी गलत है और endpoints 2 तथा 6 को भी छोड़ देता है। विकल्प D केवल 2 और 6 हटाता है, लेकिन 3 जैसे निषिद्ध मान रखता है। याद रखें: दो सरल गुणकों के गुणनफल के लिए शून्य या धनात्मक क्षेत्र अक्सर दोनों मूलों के बाहर होता है।
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