What is the domain of f(x) = 1/(x² + 6x + 10)?फलन f(x) = 1/(x² + 6x + 10) का डोमेन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ℝℝ
For this rational function, the only possible restriction is that the denominator must not be zero. Complete the square: x² + 6x + 10 = (x + 3)² + 1. Since (x + 3)² is always at least 0, the denominator is always at least 1, so it can never equal zero for any real x. Consequently, every real number is permitted and the domain is ℝ; option A is correct. Equivalently, the discriminant of the denominator is 6² − 4(1)(10) = 36 − 40 = −4, confirming that it has no real zeros. Options B and C incorrectly remove individual values, while option D incorrectly excludes x = −3 even though the denominator there is 1, not 0. The governing concept is checking denominator zeros before stating a rational function’s domain.इस परिमेय फलन में एकमात्र प्रतिबंध यह है कि हर शून्य नहीं होना चाहिए। हर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: x² + 6x + 10 = (x + 3)² + 1। चूँकि (x + 3)² का मान हमेशा 0 या उससे अधिक होता है, इसलिए हर का मान हमेशा कम से कम 1 रहेगा और किसी भी वास्तविक x के लिए शून्य नहीं हो सकता। अतः प्रत्येक वास्तविक संख्या डोमेन में शामिल है और डोमेन ℝ है; विकल्प A सही है। इसकी पुष्टि विविक्तकर से भी होती है: 6² − 4 × 1 × 10 = 36 − 40 = −4, इसलिए हर के कोई वास्तविक शून्य नहीं हैं। विकल्प B और C बिना कारण एक-एक मान हटाते हैं, जबकि विकल्प D x = −3 को हटाता है, जबकि वहाँ हर का मान 1 होता है। मुख्य अवधारणा परिमेय फलन का डोमेन बताने से पहले हर के शून्य जाँचना है।
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