What is the domain of (f(x)=\frac{1}{x-5}+2)?फलन (f(x)=\frac{1}{x-5}+2) का डोमेन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\mathbb{R}\setminus{5})(\mathbb{R}\setminus{5})
The direct answer is option A: ℝ\{5}. A domain includes all real inputs that make the formula meaningful. In f(x)=1/(x−5)+2, the only possible problem is division by zero. The denominator is x−5, so set x−5=0; this gives x=5. Therefore every real number except 5 is allowed, and the domain is ℝ\{5}. Option A is correct. Option B, ℝ\{2}, is wrong because 2 is added after the fraction and does not make the denominator zero; at x=2 the expression is defined. Option C, (5,∞), wrongly removes all values less than 5, even though they work; for example, x=4 gives 1/(-1)+2=1. It also does not include 5, but it is still incomplete. Option D, [2,∞), is wrong for the same reason and includes x=5, where division by zero occurs. The added constant 2 changes output values, not the allowed inputs. Remember: for rational expressions, inspect the denominator only and exclude its zeros.सीधा उत्तर विकल्प A: ℝ\{5} है। डोमेन में वे सभी वास्तविक इनपुट आते हैं जिन पर दिया गया सूत्र सार्थक हो। f(x)=1/(x−5)+2 में समस्या केवल शून्य से भाग देने की हो सकती है। हर x−5 है, इसलिए x−5=0 रखें; इससे x=5 मिलता है। अतः 5 को छोड़कर हर वास्तविक संख्या मान्य है और डोमेन ℝ\{5} है। विकल्प A सही है। विकल्प B, ℝ\{2}, गलत है क्योंकि 2 भिन्न के बाहर जोड़ा गया है और हर को शून्य नहीं बनाता; x=2 पर फलन परिभाषित है। विकल्प C, (5,∞), 5 से छोटी सभी संख्याओं को अनावश्यक रूप से हटा देता है; उदाहरण के लिए x=4 पर 1/(-1)+2=1, इसलिए x=4 मान्य है। यह विकल्प 5 को तो हटाता है, पर डोमेन को बहुत छोटा कर देता है। विकल्प D, [2,∞), भी गलत है और x=5 को शामिल करता है, जहाँ शून्य से भाग देना पड़ेगा। बाहर जोड़ा गया 2 आउटपुट बदलता है, इनपुट की अनुमति नहीं। याद रखें: भिन्न वाले फलन का डोमेन निकालते समय मुख्यतः हर देखें और उसके शून्य को हटाएँ।
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