What is the domain of (f(x)=\sqrt{3x-12})?फलन (f(x)=\sqrt{3x-12}) का डोमेन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ([4,\infty))([4,\infty))
The correct answer is option A: [4,∞). A square root is real only when its radicand is non-negative. Therefore require 3x-12≥0. Add 12 to both sides: 3x≥12. Divide by positive 3, so x≥4. Equality is allowed because √0=0, so x=4 belongs to the domain. Hence the domain is [4,∞). Option A correctly includes 4 and all larger values. Option B, (-∞,4], reverses the direction and would include values such as x=0, for which the radicand is -12 and the square root is not real. Option C, (4,∞), wrongly excludes x=4 even though f(4)=0 is defined. Option D, ℝ\{4}, wrongly includes values below 4 and excludes the valid endpoint 4. No denominator restriction exists here; the only restriction comes from the square root. Memory cue: for √(expression), set the expression ≥0; include the zero endpoint.सही उत्तर विकल्प A है: [4,∞)। वर्गमूल तभी वास्तविक होता है जब उसके अंदर का व्यंजक ऋणात्मक न हो। इसलिए 3x-12≥0 रखना होगा। दोनों पक्षों में 12 जोड़ने पर 3x≥12 मिलता है। धनात्मक 3 से भाग देने पर x≥4 प्राप्त होता है। बराबरी भी मान्य है, क्योंकि √0=0; इसलिए x=4 domain में शामिल है। अतः domain [4,∞) है। विकल्प A में 4 और उससे बड़े सभी मान सही रूप से शामिल हैं। विकल्प B, (-∞,4], असमानता की दिशा गलत करता है और x=0 जैसे मान शामिल करता है, जिन पर अंदर का मान -12 होगा और वर्गमूल वास्तविक नहीं होगा। विकल्प C, (4,∞), x=4 को गलत रूप से हटाता है, जबकि f(4)=0 परिभाषित है। विकल्प D, ℝ\{4}, 4 को हटाने के साथ 4 से छोटे अमान्य मानों को शामिल करता है। यहाँ denominator नहीं है; एकमात्र शर्त वर्गमूल से आती है। याद रखें: √ के अंदर का व्यंजक ≥0 रखें और शून्य वाला endpoint शामिल करें।
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