What is the domain of (f(x)=\frac{1}{x^2-9})?फलन (f(x)=\frac{1}{x^2-9}) का डोमेन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\mathbb{R}\setminus{-3,3})(\mathbb{R}\setminus{-3,3})
The direct answer is option A: ℝ\{−3,3}. The domain contains every real input for which the expression is defined. In f(x)=1/(x^2−9), the denominator must not be zero because division by zero is undefined. Set x^2−9=0. Then x^2=9, so x=3 or x=−3. These two real numbers must be excluded; every other real number is allowed. Therefore the domain is ℝ\{−3,3}. Option A is correct. Option B excludes only 9, but 9 is not the value of x that makes the denominator zero; at x=9 the denominator is 81−9=72. Option C, (−3,3), includes x=0, where the function is defined, but excludes many valid values outside the interval, so it is too small. Option D, [3,∞), incorrectly keeps only numbers at least 3 and also includes x=3, which is forbidden. Factor x^2−9=(x−3)(x+3) as a quick exam check: exclude the roots of the denominator.सीधा उत्तर विकल्प A: ℝ\{−3,3} है। डोमेन में वे सभी वास्तविक इनपुट आते हैं जिनके लिए फलन परिभाषित हो। f(x)=1/(x^2−9) में हर शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है। इसलिए x^2−9=0 रखें। इससे x^2=9 और x=3 या x=−3 मिलता है। इन दोनों मानों को हटाना होगा; बाकी प्रत्येक वास्तविक x के लिए हर शून्य नहीं होगा। अतः डोमेन ℝ\{−3,3} है। विकल्प A सही है। विकल्प B केवल 9 को हटाता है, पर x=9 पर हर 81−9=72 होता है, इसलिए 9 को हटाने की जरूरत नहीं। विकल्प C, (−3,3), में 0 जैसे मान तो हैं, पर बाहर के अनेक मान भी सही होते हैं; इसलिए यह बहुत छोटा समुच्चय है। विकल्प D, [3,∞), केवल 3 या उससे बड़े मान रखता है और x=3 को भी शामिल कर देता है, जबकि x=3 पर हर शून्य है। परीक्षा में x^2−9=(x−3)(x+3) लिखकर हर के शून्य निकालें और उन्हें डोमेन से हटाएँ।
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