What is the range of the function \(f(x)=x^2+1\) defined over the real numbers?वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित फलन \(f(x)=x^2+1\) की रेंज क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \([1,\infty)\)\([1,\infty)\)
For every real \(x\), \(x^2\geq 0\). Hence \(f(x)=x^2+1\geq 1\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is the minimum value, and every larger value is possible. Thus, the range is \([1,\infty)\). Option B is wrong because the function can never have the value 0. Exam tip: find the minimum of \(x^2\), then include any constant vertical shift.प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+1\geq 1\)। \(x=0\) रखने पर \(f(0)=1\) मिलता है, अतः 1 न्यूनतम मान है और इसके बाद सभी बड़े मान प्राप्त हो सकते हैं। इसलिए रेंज \([1,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि फलन का मान 0 कभी नहीं हो सकता। परीक्षा-टिप: \(x^2\) के न्यूनतम मान में स्थिर पद जोड़कर परवलय की रेंज ज्ञात करें।
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