What is the range of f(x) = (2x + 1)/3 when x ∈ ℝ?फलन f(x) = (2x + 1)/3 का परिसर क्या है जब x ∈ ℝ?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ℝℝ
The function f(x) = (2x + 1)/3 is a non-constant linear function with non-zero slope 2/3. A non-constant linear function defined for every real x can produce every real output. Algebraically, let y = (2x + 1)/3. Then 3y = 2x + 1, so x = (3y − 1)/2. For every real y, this formula gives a real x, proving that every real number occurs as an output. Thus the range is ℝ, so option B is correct. Options A and D incorrectly impose one-sided bounds, while option C claims the function has only one output, which is impossible for a linear function with non-zero slope.फलन f(x) = (2x + 1)/3 एक स्थिर नहीं बल्कि रेखीय फलन है और इसकी ढाल 2/3, शून्य नहीं है। प्रत्येक वास्तविक x के लिए ऐसा रेखीय फलन हर वास्तविक आउटपुट दे सकता है। इसे बीजीय रूप से दिखाने के लिए y = (2x + 1)/3 मानें। तब 3y = 2x + 1 और x = (3y − 1)/2 प्राप्त होता है। प्रत्येक वास्तविक y के लिए यह x भी वास्तविक होगा, इसलिए हर वास्तविक संख्या फलन का कोई न कोई आउटपुट है। अतः परिसर ℝ है और विकल्प B सही है। विकल्प A और D गलत रूप से ऊपरी या निचली सीमा लगाते हैं, जबकि विकल्प C केवल एक आउटपुट मान बताता है, जो गैर-शून्य ढाल वाले रेखीय फलन के लिए संभव नहीं है।
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