What is the range of (f(x)=x^2+9)?फलन (f(x)=x^2+9) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ([9,\infty))([9,\infty))
The direct answer is B: the range is \([9,\infty)\). The range means all possible output values. For every real x, \(x^2\ge 0\). Adding 9 gives \(x^2+9\ge 9\), so no output can be below 9. The value 9 is actually reached when x=0, because f(0)=0^2+9=9. For any value y≥9, choose x=\(\pm\sqrt{y−9}\); then x^2+9=y. Thus every value from 9 upward occurs, giving \([9,\infty)\). Option A, \([0,\infty)\), is wrong because values such as 1 are impossible. Option B is correct. Option C, \((9,\infty)\), wrongly excludes 9, although x=0 produces it. Option D, all real numbers, is wrong because the output can never be less than 9. Memory cue: a square is at least zero; adding 9 shifts the minimum to 9, and the endpoint is included.सीधा उत्तर B है: परिसर \([9,\infty)\) है। परिसर का अर्थ है फलन से मिलने वाले सभी संभावित आउटपुट। प्रत्येक वास्तविक x के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर \(x^2+9\ge 9\) मिलता है, इसलिए 9 से छोटा कोई आउटपुट संभव नहीं है। 9 वास्तव में मिलता है, क्योंकि x=0 पर f(0)=0^2+9=9। किसी भी y≥9 के लिए x=\(\pm\sqrt{y−9}\) लेने पर x^2+9=y मिलता है। इसलिए 9 से अनंत तक हर मान आता है और परिसर \([9,\infty)\) है। विकल्प A, \([0,\infty)\), गलत है, क्योंकि 1 जैसे मान नहीं मिल सकते। विकल्प B सही है। विकल्प C, \((9,\infty)\), गलत है क्योंकि वह 9 को हटा देता है, जबकि x=0 पर 9 मिलता है। विकल्प D, सभी वास्तविक संख्याएँ, गलत है क्योंकि आउटपुट 9 से कम नहीं हो सकता। याद रखें: वर्ग का न्यूनतम 0 होता है; 9 जोड़ने पर न्यूनतम 9 होता है और कोष्ठक में 9 शामिल रहता है।
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