What is the range of (f(x)=7-2x) when (x \in \mathbb{R})?फलन (f(x)=7-2x) का परिसर क्या है जब (x \in \mathbb{R})?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\mathbb{R})(\mathbb{R})
The correct answer is option C: ℝ. The range is the collection of all possible outputs. Let y=7-2x, where x can be any real number. To see whether an arbitrary real y can occur, solve for x: 2x=7-y, so x=(7-y)/2. For every real y, this x is also real. Therefore every real output is possible, and the range is ℝ. Option A, [7,∞), is wrong because taking x=1 gives f(x)=5, which is below 7. Option B, (-∞,7], is wrong because taking x=-1 gives f(x)=9, which is above 7. Option C is correct: the non-constant linear expression has no upper or lower limit when x ranges over all real numbers. Option D, {7}, would be true only for a constant function whose output is always 7; here changing x changes the output. For example, x=0 gives 7, x=1 gives 5, and x=-1 gives 9. Exam cue: a linear function ax+b with a≠0 and domain ℝ has range ℝ.सही उत्तर विकल्प C है: ℝ। परिसर सभी संभव outputs का समूह होता है। y=7-2x मानें, जहाँ x कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। देखें कि कोई भी वास्तविक y मिल सकता है या नहीं: 2x=7-y, इसलिए x=(7-y)/2। प्रत्येक वास्तविक y के लिए यह x भी वास्तविक होगा। अतः हर वास्तविक output संभव है और परिसर ℝ है। विकल्प A, [7,∞), गलत है क्योंकि x=1 पर f(x)=5 मिलता है, जो 7 से छोटा है। विकल्प B, (-∞,7], गलत है क्योंकि x=-1 पर f(x)=9 मिलता है, जो 7 से बड़ा है। विकल्प C सही है; x के सभी वास्तविक मान लेने पर यह अस्थिर रेखीय फलन ऊपर या नीचे किसी सीमा में बंद नहीं रहता। विकल्प D, {7}, तभी सही होता जब फलन हर x पर स्थिर रूप से 7 देता, पर यहाँ x बदलने पर output बदलता है। उदाहरणतः x=0 पर 7, x=1 पर 5 और x=-1 पर 9 मिलता है। परीक्षा-संकेत: ax+b में a≠0 और domain ℝ हो तो range भी ℝ होती है।
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