If f: ℝ → ℝ is given by f(x) = (x² + 9)/(x² + 3), what is the range?यदि f: ℝ → ℝ को f(x) = (x² + 9)/(x² + 3) द्वारा परिभाषित किया गया है, तो इसका परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1, 3](1, 3]
The governing idea is to determine all possible values of a real-valued function. Rewrite the expression as f(x) = 1 + 6/(x² + 3). Since x² ≥ 0, the denominator satisfies x² + 3 ≥ 3, so 0 < 6/(x² + 3) ≤ 2. Therefore 1 < f(x) ≤ 3. The value 3 is attained when x = 0, because f(0) = 9/3 = 3. The value 1 is never attained for any finite real x, since 6/(x² + 3) is always positive, although it approaches 0 as |x| increases. Hence the range is (1, 3]. Option B incorrectly includes 1, while C and D do not describe the actual bounds.इस प्रश्न में परिसर ज्ञात करने के लिए फलन के सभी संभव मानों का अध्ययन करना है। f(x) = 1 + 6/(x² + 3) लिखें। क्योंकि x² ≥ 0, इसलिए x² + 3 ≥ 3 और इस कारण 0 < 6/(x² + 3) ≤ 2। अतः 1 < f(x) ≤ 3। अधिकतम मान 3 वास्तव में प्राप्त होता है, क्योंकि x = 0 रखने पर f(0) = 9/3 = 3 मिलता है। दूसरी ओर, 1 कभी प्राप्त नहीं हो सकता, क्योंकि 6/(x² + 3) किसी भी वास्तविक x के लिए धनात्मक रहता है; केवल |x| बढ़ने पर वह 0 के निकट जाता है। इसलिए सही परिसर (1, 3] है। विकल्प B में 1 को गलत रूप से शामिल किया गया है, जबकि C और D सही सीमा नहीं बताते।
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