If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) has range \([-2,\infty)\) and \(f(x)=(x-a)^2+b\), which of the following pairs \((a,b)\) is possible?यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) का परास \([-2,\infty)\) है और \(f(x)=(x-a)^2+b\), तो निम्नलिखित में से \((a,b)\) का कौन-सा युग्म संभव है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \((a,b)=(5,-2)\)\((a,b)=(5,-2)\)
Since \((x-a)^2\ge 0\), the function \(f(x)=(x-a)^2+b\) has minimum value \(b\), attained at \(x=a\). Hence its range is \([b,\infty)\). The given range \([-2,\infty)\) requires \(b=-2\), while \(a\) may be any real number. Therefore, \((5,-2)\) is a possible pair. Exam tip: In this form of a quadratic function, the lower endpoint of the range is the constant term \(b\).\((x-a)^2\ge 0\) होने के कारण \(f(x)=(x-a)^2+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है, जो \(x=a\) पर प्राप्त होता है। इसलिए परास \([b,\infty)\) है। दिए गए परास \([-2,\infty)\) से \(b=-2\) आवश्यक है, जबकि \(a\) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। अतः \((5,-2)\) संभव युग्म है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे द्विघात फलन में परास का निचला सिरा स्थिरांक \(b\) होता है।
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