If f: ℝ → ℝ is given by f(x) = (x² + 4)/(x² + 1), what is its range?यदि f: ℝ → ℝ को f(x) = (x² + 4)/(x² + 1) से परिभाषित किया गया है, तो इसका परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1, 4](1, 4]
The governing concept is the range of a real-valued function. Put u = x², so u ≥ 0 for every real x. Then f(x) = (u + 4)/(u + 1) = 1 + 3/(u + 1). Since u + 1 ≥ 1, the added term is positive and at most 3. Its maximum 3 occurs when u = 0, that is, x = 0, giving f(0) = 4. As u grows without bound, 3/(u + 1) approaches 0 but never equals 0 for any finite real x. Hence f(x) approaches 1 without attaining it, and every value between 1 and 4 is obtained. Therefore the range is (1, 4], so option A is correct. Option B incorrectly includes 1, while C and D do not represent the actual set of values.यहाँ मुख्य अवधारणा वास्तविक-मूल्य फलन का परिसर ज्ञात करना है। u = x² रखने पर प्रत्येक वास्तविक x के लिए u ≥ 0 होगा। तब f(x) = (u + 4)/(u + 1) = 1 + 3/(u + 1)। चूँकि u + 1 ≥ 1 है, इसलिए 3/(u + 1) धनात्मक और अधिकतम 3 है। यह अधिकतम मान u = 0, अर्थात x = 0 पर मिलता है और f(0) = 4 होता है। दूसरी ओर u के बढ़ने पर 3/(u + 1) शून्य के निकट पहुँचता है, लेकिन किसी सीमित वास्तविक x के लिए शून्य नहीं बनता। इसलिए फलन 1 के निकट तो पहुँचता है, पर 1 को प्राप्त नहीं करता; 4 प्राप्त करता है और बीच के सभी मान लेता है। अतः परिसर (1, 4] है और विकल्प A सही है। विकल्प B में 1 को अनुचित रूप से शामिल किया गया है, जबकि C और D गलत सीमाएँ हैं।
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