If f: R → R is given by f(x) = x² + 2x + 5, what is the range of f?यदि f: R → R को f(x) = x² + 2x + 5 से दिया गया है, तो f का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: [4, ∞)[4, ∞)
To determine the range, rewrite the quadratic by completing the square: f(x) = x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4. For every real x, the square (x + 1)² is at least zero. Therefore f(x) is at least 4, and equality occurs when x + 1 = 0, or x = -1. As x moves away from -1, the square can take every nonnegative real value, so the function assumes every value from 4 upward. Hence the range is [4, ∞), which is option A. Option B overlooks the lowering effect of the linear term, option C reverses the direction of the bound, and option D incorrectly claims that values below 4 can occur.परिसर ज्ञात करने के लिए वर्ग पूरा करते हैं: f(x) = x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4। प्रत्येक वास्तविक x के लिए (x + 1)² ≥ 0 होता है। इसलिए f(x) का न्यूनतम मान 4 है। यह न्यूनतम मान x + 1 = 0, अर्थात x = -1 पर प्राप्त होता है। x के -1 से दूर जाने पर (x + 1)² हर गैर-ऋणात्मक वास्तविक मान ले सकता है, इसलिए f(x) का मान 4 से शुरू होकर अनंत तक का प्रत्येक मान लेता है। अतः परिसर [4, ∞) है और विकल्प A सही है। विकल्प B रैखिक पद के प्रभाव को नहीं गिनता, विकल्प C सीमा की दिशा उलट देता है और विकल्प D गलत रूप से 4 से छोटे मानों को भी संभव बताता है।
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