If f: ℝ → ℝ is given by f(x) = 1/(x² − 9), what should be the domain to make it a valid real function?यदि f: ℝ → ℝ को f(x) = 1/(x² − 9) से परिभाषित किया गया है, तो इसे वैध वास्तविक फलन बनाने के लिए इसका प्रांत क्या होना चाहिए?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Domain = ℝ − {−3, 3} and range = ℝ − {0}Domain = ℝ − {−3, 3} and range = ℝ − {0}
The governing concept is that the denominator of a real rational function can never be zero. Here x² − 9 = 0 gives x² = 9, so x = −3 or x = 3. These two inputs must be excluded from the domain; every other real number makes the denominator nonzero, so the natural domain is ℝ − {−3, 3}. Also, the function can never equal zero because its numerator is 1, so its actual range is ℝ − {0}. Thus option B correctly gives both the restricted domain and the range. Option A incorrectly includes undefined inputs, option C excludes 0 unnecessarily rather than excluding ±3, and option D is far too restrictive.मुख्य अवधारणा यह है कि किसी वास्तविक परिमेय फलन का हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ x² − 9 = 0 रखने पर x² = 9 मिलता है, इसलिए x = −3 या x = 3 होगा। इन दोनों मानों पर हर शून्य हो जाता है और फलन परिभाषित नहीं रहता। अतः प्राकृतिक प्रांत ℝ − {−3, 3} है। इसके अतिरिक्त अंश 1 है, इसलिए फलन का मान कभी शून्य नहीं हो सकता और वास्तविक परिसर ℝ − {0} होगा। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में अपरिभाषित मान शामिल हैं, विकल्प C गलत संख्या 0 को हटाता है, जबकि विकल्प D आवश्यक प्रांत से बहुत छोटा है और कई वैध वास्तविक मानों को अनुचित रूप से निकाल देता है।
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