What is the range of the graph of (f(x)=x-\lfloor x \rfloor)?फलन (f(x)=x-\lfloor x \rfloor) के ग्राफ की रेंज क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ([0,1))([0,1))
The direct answer is option A, \([0,1)\). The expression \(x-\lfloor x\rfloor\) is the fractional part of x. For every real x, the floor \(\lfloor x\rfloor\) is the greatest integer not exceeding x, so \(0\le x-\lfloor x\rfloor<1\). The value 0 occurs whenever x is an integer, for example x=2. The value 1 never occurs: just before the next integer, the fractional part gets close to 1 but remains less than 1. Option A is therefore correct. Option B, \((0,1]\), wrongly excludes 0 and includes the impossible value 1. Option C, \([0,1]\), wrongly includes 1. Option D, \(\mathbb R\), is wrong because the output is always between 0 and 1. Negative numbers cause no exception; for example, \(-1.3-\lfloor-1.3\rfloor=-1.3-(-2)=0.7\). Memory cue: fractional part includes 0 but never includes 1.सीधा उत्तर विकल्प A, \([0,1)\) है। \(x-\lfloor x\rfloor\) x का भिन्नात्मक भाग देता है। हर वास्तविक x के लिए \(\lfloor x\rfloor\) वह सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है जो x से बड़ी नहीं होती। इसलिए हमेशा \(0\le x-\lfloor x\rfloor<1\) होता है। 0 प्राप्त होता है जब x पूर्णांक हो, जैसे x=2। 1 कभी प्राप्त नहीं होता; अगले पूर्णांक से ठीक पहले मान 1 के बहुत पास आ सकता है, पर 1 से छोटा ही रहता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \((0,1]\), 0 को गलत ढंग से हटाता और 1 को गलत ढंग से शामिल करता है। विकल्प C, \([0,1]\), भी 1 को शामिल करता है। विकल्प D, \(\mathbb R\), गलत है क्योंकि आउटपुट सदैव 0 और 1 के बीच रहता है। ऋणात्मक x में भी नियम चलता है: \(-1.3-\lfloor-1.3\rfloor=-1.3-(-2)=0.7\)। याद रखें: भिन्नात्मक भाग में 0 शामिल होता है, 1 कभी नहीं।
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