What appears in the graph of (y=\frac{x^2-9}{x-3}) at (x=3)?फलन (y=\frac{x^2-9}{x-3}) में (x=3) पर ग्राफ में क्या दिखता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: A holeछिद्र
The direct answer is option A: a hole. Factor the numerator: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). For \(x\ne3\), the expression simplifies to \(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\). However, the original denominator is zero at \(x=3\), so that input is excluded even after cancellation. The simplified line would approach the missing point \((3,6)\), producing a removable discontinuity, or hole. Option A is correct. Option B, a vertical asymptote, would occur when the denominator’s zero factor remains uncancelled, as in \(1/(x-3)\). Option C, a vertex, belongs to a parabola or similar turning graph, not this cancelled line. Option D, a maximum point, is not present because the line has no maximum. Always check the original domain after cancelling factors; cancellation does not restore a forbidden input.सीधा उत्तर विकल्प A है: छिद्र। अंश का गुणनखंड करें: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\)। जब \(x\ne3\), तब \(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\) हो जाता है। लेकिन मूल हर में \(x=3\) रखने पर शून्य आता है, इसलिए यह मान मूल फलन में निषिद्ध रहता है। सरल रेखा \(y=x+3\) का बिंदु \((3,6)\) होना चाहिए, पर वह हट गया है; इसी कारण वहाँ छिद्र या removable discontinuity दिखता है। विकल्प A सही है। विकल्प B, ऊर्ध्वाधर आसमटोट, तब होता जब हर का शून्य करने वाला गुणनखंड कटता नहीं, जैसे \(1/(x-3)\) में। विकल्प C, शीर्ष, परवलय जैसे मुड़ने वाले ग्राफ में होता है, इस सीधी रेखा में नहीं। विकल्प D, अधिकतम बिंदु, भी नहीं है क्योंकि सीधी रेखा का कोई अधिकतम नहीं होता। नियम याद रखें: गुणनखंड काटने के बाद भी मूल डोमेन की पाबंदी वापस नहीं आती।
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