The graph y = √(25 − x^2) is the upper semicircle of which circle?फलन y = √(25 − x^2) किस वृत्त का ऊपरी अर्धभाग है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x^2 + y^2 = 25x^2 + y^2 = 25
The governing concept is the standard equation of a circle centered at the origin: x^2 + y^2 = r^2. Starting with y = √(25 − x^2), square both sides to obtain y^2 = 25 − x^2. Rearranging gives x^2 + y^2 = 25, so the radius is √25 = 5 and the center is (0, 0). The original square-root form also imposes y ≥ 0, because a principal square root is never negative. Therefore it represents only the upper semicircle of that circle, not the complete circle. Option A is correct. Option B would describe radius √5, not 5; option C is a straight line; and option D is a parabola. The domain is −5 ≤ x ≤ 5, consistent with this semicircle.मुख्य अवधारणा मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्त का मानक समीकरण x^2 + y^2 = r^2 है। दिए गए फलन y = √(25 − x^2) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर y^2 = 25 − x^2 मिलता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर x^2 + y^2 = 25 प्राप्त होता है। इसलिए केंद्र (0, 0) है और त्रिज्या √25 = 5 है। मूल वर्गमूल रूप से y का मान सदैव 0 या धनात्मक रहता है, इसलिए पूरे वृत्त के बजाय केवल उसका ऊपरी अर्धभाग प्राप्त होता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में त्रिज्या √5 होती, 5 नहीं। विकल्प C एक सीधी रेखा का समीकरण है, जबकि विकल्प D परवलय का समीकरण है। साथ ही, वर्गमूल के लिए 25 − x^2 ≥ 0 होना चाहिए, इसलिए −5 ≤ x ≤ 5, जो इसी ऊपरी अर्धवृत्त से मेल खाता है।
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