What is the range of y = 4 - (x - 1)^2?फलन y = 4 - (x - 1)^2 की रेंज क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (-∞, 4](-∞, 4]
The governing concept is the range of a quadratic in vertex form. For every real x, (x-1)^2 is non-negative, so -(x-1)^2 is at most 0. Consequently y = 4-(x-1)^2 is always less than or equal to 4. Equality occurs when x-1 = 0, that is, at x = 1; the vertex is therefore (1,4) and gives the maximum value 4. As |x-1| grows, the squared term grows without bound and y decreases without bound. Hence the range is (-∞,4], making option A correct. Option B reverses the inequality, option C uses the wrong vertex value, and option D incorrectly includes values greater than 4.यह प्रश्न शीर्ष-रूप वाले द्विघात फलन की रेंज पर आधारित है। प्रत्येक वास्तविक x के लिए (x-1)^2 ≥ 0 होता है, इसलिए -(x-1)^2 ≤ 0। अतः y = 4-(x-1)^2 का प्रत्येक मान 4 से कम या बराबर होगा। y = 4 तभी मिलेगा जब x-1 = 0, अर्थात x = 1; इसलिए परवलय का शीर्ष (1,4) है और 4 इसका अधिकतम मान है। जैसे-जैसे |x-1| बढ़ता है, वर्ग-पद अनंत तक बढ़ता है और y ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है। इसलिए रेंज (-∞,4] है और विकल्प A सही है। विकल्प B असमानता उलट देता है, विकल्प C गलत शीर्ष-मूल्य लेता है और विकल्प D 4 से बड़े असंभव मान भी शामिल करता है।
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