What is the domain of the graph (y=\log_2(x+5))?फलन (y=\log_2(x+5)) के ग्राफ का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (x>-5)(x>-5)
The direct answer is A, \(x>-5\). A logarithm is defined only when its input is strictly positive; zero and negative inputs are not allowed. Here the input is x+5, so solve \(x+5>0\). Subtract 5 from both sides to obtain \(x>-5\). Thus every real number greater than −5 belongs to the domain, while −5 itself does not. Option A is correct. Option B, \(x\ge-5\), incorrectly includes x=−5, but then the logarithm input is zero. Option C, \(x<5\), uses the wrong boundary and includes many values for which x+5 is nonpositive. Option D, \(x\ne-5\), excludes only −5 but still allows numbers less than −5, producing a logarithm of a negative number. Memory cue: for \(\log_b(g(x))\), write \(g(x)>0\), never \(g(x)\ge0\).सीधा उत्तर A, \(x>-5\) है। लघुगणक तभी परिभाषित होता है जब उसके अंदर का मान strictly positive, अर्थात शून्य से बड़ा, हो; शून्य या ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं हैं। यहाँ अंदर का मान x+5 है, इसलिए \(x+5>0\) लिखें। दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(x>-5\) मिलता है। अतः −5 से बड़े सभी वास्तविक मान प्रांत में हैं, पर −5 स्वयं नहीं। विकल्प A सही है। विकल्प B, \(x\ge-5\), −5 को शामिल करता है, लेकिन तब लॉग का अंदरूनी मान 0 होगा। विकल्प C, \(x<5\), गलत सीमा देता है और ऐसे कई x शामिल करता है जिनके लिए x+5 ऋणात्मक है। विकल्प D, \(x\ne-5\), केवल −5 हटाता है, पर −5 से छोटे मानों पर ऋणात्मक संख्या का लॉग बनता है। याद रखें: \(\log_b(g(x))\) के लिए हमेशा \(g(x)>0\) लिखें, \(g(x)\ge0\) नहीं।
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