What is the range of (f(x)={x}), where ({x}) is the fractional part?फलन (f(x)={x}) का परिसर क्या है, जहाँ ({x}) भिन्नांश भाग है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 0 ≤ y < 10 ≤ y < 1
The governing concept is the fractional-part function. For every real number x, its fractional part is defined by {x}=x−⌊x⌋, where ⌊x⌋ is the greatest integer not exceeding x. Consequently, 0≤{x}<1. The value 0 occurs whenever x is an integer, while 1 is never reached because the integer portion would then increase by one. Therefore the range is [0,1), represented by 0≤y<1, so option A is correct. Option B excludes the attainable value 0 and includes the impossible value 1. Option C confuses fractional values with integers, and option D is too broad because values greater than or equal to 1 cannot occur.इस प्रश्न में भिन्नांश भाग फलन की परिभाषा प्रयोग होती है। किसी भी वास्तविक x के लिए {x}=x−⌊x⌋ होता है, जहाँ ⌊x⌋ x से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। इसलिए भिन्नांश भाग हमेशा 0≤{x}<1 को संतुष्ट करता है। जब x पूर्णांक हो, तब भिन्नांश भाग 0 होता है; लेकिन 1 कभी प्राप्त नहीं होता, क्योंकि 1 मिलते ही पूर्णांक भाग में एक और जुड़ जाएगा। अतः परिसर [0,1) अर्थात 0≤y<1 है और विकल्प A सही है। विकल्प B में 0 को हटाकर 1 को शामिल किया गया है, विकल्प C पूर्णांकों से भ्रमित करता है और विकल्प D बहुत बड़ा परिसर बताता है।
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