Why is the graph of (f(x)=x^3) symmetric about the origin?फलन (f(x)=x^3) के ग्राफ की मूल बिंदु के प्रति सममिति किस कारण होती है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: because (f(-x)=-f(x))क्योंकि (f(-x)=-f(x))
The direct answer is option B. A graph is symmetric about the origin when every point (x,y) is matched by the point (-x,-y). For f(x)=x^3, calculate f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x). This is the definition of an odd function, and the graph of an odd function has origin symmetry. Option B states exactly this relation. Option A, f(-x)=f(x), defines an even function, whose graph is symmetric about the y-axis, not generally the origin. Option C, f(x)≥0, is false for negative x because x^3 is negative; it also does not state a symmetry rule. Option D, f(x)≤0, is false for positive x and likewise cannot establish origin symmetry. For example, (1,1) lies on the graph and its origin-reflected point (-1,-1) also lies on it. Remember: even means y-axis symmetry, odd means origin symmetry. The supplied answer is correct.सीधा उत्तर विकल्प B है। किसी ग्राफ में मूल बिंदु के प्रति सममिति तब होती है जब उसके प्रत्येक बिंदु (x,y) के साथ (-x,-y) भी ग्राफ पर हो। f(x)=x^3 के लिए f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x) मिलता है। यही विषम फलन की परिभाषा है, और विषम फलन का ग्राफ मूल बिंदु के प्रति सममित होता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A, f(-x)=f(x), सम फलन की शर्त है; इससे y-अक्ष के प्रति सममिति मिलती है, मूल बिंदु के प्रति नहीं। विकल्प C, f(x)≥0, गलत है क्योंकि ऋणात्मक x के लिए x^3 ऋणात्मक होता है और यह कोई सममिति नियम भी नहीं है। विकल्प D, f(x)≤0, धनात्मक x के लिए गलत है और सममिति सिद्ध नहीं करता। उदाहरण के लिए (1,1) के साथ (-1,-1) भी ग्राफ पर आता है। याद रखें: सम फलन—y-अक्ष, विषम फलन—मूल बिंदु। दिया गया उत्तर सही है।
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