What is the range of \(f(x)=\frac{2}{(x-1)^2}-3\)?फलन \(f(x)=\frac{2}{(x-1)^2}-3\) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \((-3,\infty)\)\((-3,\infty)\)
The range follows from the sign and limiting behavior of the expression. The domain excludes \(x=1\), and for every allowed \(x\), \((x-1)^2>0\). Hence \(2/(x-1)^2>0\), so \(f(x)=2/(x-1)^2-3>-3\). The value \(-3\) can never occur because the positive fraction can never equal zero. On the other hand, as \(x\) approaches 1, the fraction becomes arbitrarily large, so there is no upper bound. Every value greater than \(-3\) is achieved: for \(y>-3\), choose \((x-1)^2=2/(y+3)\). Thus the range is \((-3,\infty)\), making option A correct. Option B incorrectly includes the unattainable endpoint.परिसर ज्ञात करने के लिए व्यंजक के चिह्न और सीमा-व्यवहार को देखें। \(x=1\) पर फलन परिभाषित नहीं है, और हर स्वीकार्य \(x\) के लिए \((x-1)^2>0\) होता है। इसलिए \(2/(x-1)^2>0\), जिससे \(f(x)=2/(x-1)^2-3>-3\) प्राप्त होता है। मान \(-3\) कभी नहीं मिल सकता, क्योंकि धनात्मक भिन्न \(2/(x-1)^2\) शून्य नहीं हो सकती। दूसरी ओर, जब \(x\), 1 के बहुत निकट जाता है, तो भिन्न का मान मनमाना बड़ा हो जाता है; इसलिए कोई ऊपरी सीमा नहीं है। वास्तव में प्रत्येक \(y>-3\) के लिए \((x-1)^2=2/(y+3)\) लेकर कोई वास्तविक \(x\) चुना जा सकता है। अतः परिसर \((-3,\infty)\) है और विकल्प A सही है। विकल्प B की गलती यह है कि वह \(-3\) को शामिल करता है।
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