If f(x)=1/(x+1), g(x)=1/(x−1), and h(x)=f(x)+g(x), what is h(x)?यदि f(x)=1/(x+1), g(x)=1/(x−1) और h(x)=f(x)+g(x) हैं, तो h(x) क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2x/(x²−1), x≠±12x/(x²−1), x≠±1
The governing concept is addition of rational functions using a common denominator. Start with h(x)=1/(x+1)+1/(x−1). The least common denominator is (x+1)(x−1)=x²−1. Combining the numerators gives h(x)=[(x−1)+(x+1)]/[(x+1)(x−1)]. The numerator simplifies to x−1+x+1=2x, while the denominator remains x²−1. Therefore h(x)=2x/(x²−1). The original expressions are undefined at x=−1 and x=1, so both restrictions must be stated even though the result has been combined into one fraction. Option A includes the correct numerator, denominator, and domain. Option B loses the factor x, option C introduces an incorrect negative sign, and option D loses the factor 2. Thus only option A is mathematically complete.यहाँ मुख्य अवधारणा परिमेय फलनों को समान हर लेकर जोड़ना है। h(x)=1/(x+1)+1/(x−1) से प्रारंभ करें। दोनों हरों का समान हर (x+1)(x−1)=x²−1 होगा। इसलिए h(x)=[(x−1)+(x+1)]/[(x+1)(x−1)]। अंश को सरल करने पर x−1+x+1=2x मिलता है और हर x²−1 रहता है। अतः h(x)=2x/(x²−1)। मूल फलन x=−1 और x=1 पर अपरिभाषित हैं, इसलिए संयुक्त भिन्न लिखने के बाद भी ये दोनों मान प्रांत से बाहर रहेंगे। विकल्प A में सही अंश, सही हर और सही प्रतिबंध तीनों दिए गए हैं। विकल्प B में x का गुणक छूट गया है, विकल्प C में ऋणात्मक चिह्न गलत है और विकल्प D में 2 का गुणक गायब है। इसलिए केवल विकल्प A पूर्णतः सही उत्तर है।
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