If f(x)=(x+1)/(x−3) and g(x)=x−3, what is the domain of (f/g)(x)?यदि f(x)=(x+1)/(x−3) और g(x)=x−3 हैं, तो (f/g)(x) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ℝ\{3}ℝ\{3}
The governing concept is the domain of a quotient of functions. Both f(x) and g(x) must be defined, and the divisor g(x) must not equal zero. For f(x)=(x+1)/(x−3), the denominator is zero at x=3, so f is undefined there. Also, g(3)=3−3=0, so the quotient is independently forbidden at the same value. Hence every real number except 3 belongs to the domain. The numerator x+1 may be zero at x=−1; a zero numerator is allowed and does not remove −1 from the domain. Therefore the domain is ℝ\{3}, making option A correct. Option B incorrectly includes x=3. Option C unnecessarily excludes −1, and option D excludes the wrong point. Even if the quotient is written in a different algebraic form, the original restrictions must be preserved.यह प्रश्न भागफल फलन के प्रांत की अवधारणा पर आधारित है। भागफल के लिए दोनों मूल फलन परिभाषित होने चाहिए और भाजक g(x) का मान शून्य नहीं होना चाहिए। f(x)=(x+1)/(x−3) में x=3 पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए f(3) अपरिभाषित है। साथ ही g(3)=3−3=0, इसलिए भागफल भी x=3 पर परिभाषित नहीं हो सकता। इसके अतिरिक्त x=−1 पर अंश x+1 का मान शून्य होता है, लेकिन शून्य अंश स्वीकार्य है; इससे −1 प्रांत से बाहर नहीं होता। इसलिए सभी वास्तविक संख्याएँ, सिवाय 3 के, प्रांत में आती हैं और सही उत्तर ℝ\{3}, अर्थात विकल्प A है। विकल्प B x=3 को गलत रूप से शामिल करता है, विकल्प C −1 को अनावश्यक रूप से हटाता है और विकल्प D गलत बिंदु निकालता है। मूल प्रतिबंध सरलीकरण के बाद भी बने रहते हैं।
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