If f(x) = √(x + 2) and g(x) = 1/(x − 1), what is the domain of (fg)(x)?यदि f(x) = √(x + 2) और g(x) = 1/(x − 1) हैं, तो (fg)(x) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: [−2, ∞) \ {1}[−2, ∞) \ {1}
For a product of real-valued functions, the domain consists of all inputs that belong to the domains of both functions. The square-root expression √(x + 2) is real only when x + 2 ≥ 0, giving x ≥ −2. The rational function 1/(x − 1) is defined only when its denominator is nonzero, so x ≠ 1. Combining these conditions gives x ≥ −2 and x ≠ 1, or [−2, ∞) excluding 1. Therefore option A is correct. Option B wrongly excludes −2, although the square root is defined there; option C omits valid values greater than 1, and option D includes values below −2.दो वास्तविक फलनों के गुणनफल का प्रांत उन सभी संख्याओं का समुच्चय होता है जो दोनों फलनों के प्रांत में हों। वर्गमूल √(x + 2) के वास्तविक होने के लिए x + 2 ≥ 0 आवश्यक है, इसलिए x ≥ −2। परिमेय फलन 1/(x − 1) में हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए x ≠ 1। दोनों शर्तों को मिलाने पर प्रांत [−2, ∞) में से 1 को हटाने पर मिलता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में −2 को अनुचित रूप से हटाया गया है, जबकि √0 परिभाषित है। विकल्प C, 1 से बड़ी वैध संख्याएँ छोड़ देता है और विकल्प D, −2 से छोटी अमान्य संख्याएँ भी शामिल करता है।
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