If \(f(x)=x^2-5x+6\) and \(g(x)=x-2\) then what is the domain of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?यदि \(f(x)=x^2-5x+6\) और \(g(x)=x-2\) हैं तो \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\mathbb{R}-{2})\)\(\mathbb{R}-{2})\)
The direct answer is option A: \(\mathbb R\setminus\{2\}\). A quotient \((f/g)(x)\) equals \(f(x)/g(x)\), so the denominator must not be zero. Here the original denominator is \(g(x)=x-2\). Set it equal to zero: \(x-2=0\), giving \(x=2\). Therefore every real number is allowed except 2. Although \(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), cancellation may simplify the formula to \(x-3\\) only for values where the original quotient was defined; it cannot restore the missing value \(x=2\). Option A is correct. Option B wrongly excludes 3; the denominator at 3 is 1, so the quotient is defined. Option C excludes both 2 and 3, but 3 is allowed. Option D includes 2, where division by zero occurs. Memory cue: for a quotient, inspect the original denominator before cancelling factors.सीधा उत्तर विकल्प A है: \(\mathbb R\setminus\{2\}\)। भागफल फलन \((f/g)(x)=f(x)/g(x)\) होता है, इसलिए नीचे का हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ मूल हर \(g(x)=x-2\) है। इसे शून्य रखने पर \(x-2=0\), अतः \(x=2\)। इसलिए सभी वास्तविक संख्याएँ मान्य हैं, केवल 2 नहीं। अंश को \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) लिखा जा सकता है और सामान्य गुणनखंड काटने पर सरल रूप दिख सकता है, लेकिन मूल भागफल में \(x=2\) पर हर शून्य था; इसलिए वह बिंदु वापस नहीं आता। A सही है। B में 3 को हटाया गया है, जबकि \(x=3\) पर हर 1 है। C अनावश्यक रूप से 3 भी हटाता है। D में 2 शामिल है, जहाँ शून्य से भाग होगा। याद रखें: गुणनखंड काटने से पहले मूल हर का प्रतिबंध लिखें।
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