If f(x)=x²+px+4 and g(x)=2x+1, and the minimum value of (f+g)(x) is 0, what is p?यदि f(x)=x²+px+4 और g(x)=2x+1 हों तथा (f+g)(x) का न्यूनतम मान 0 हो, तो p का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: p=−2±2√5p=−2±2√5
The governing concept is the minimum value of an upward-opening quadratic. Add the functions first: (f+g)(x)=x²+px+4+2x+1=x²+(p+2)x+5. Since the coefficient of x² is positive, the quadratic has a minimum. For that minimum to equal zero, the graph must touch the x-axis at its vertex, so the discriminant must be zero. Therefore (p+2)²−4(1)(5)=0, giving (p+2)²=20. Taking both square roots yields p+2=±2√5, hence p=−2±2√5. This is option A. Option B omits the shift by −2, option C gives only the shift and ignores the square-root possibilities, and option D uses an incorrect value from the discriminant equation.मुख्य अवधारणा ऊपर की ओर खुलने वाले द्विघात फलन के न्यूनतम मान की है। पहले दोनों फलनों को जोड़ते हैं: (f+g)(x)=x²+px+4+2x+1=x²+(p+2)x+5। x² का गुणांक धनात्मक है, इसलिए इस द्विघात का न्यूनतम मान अस्तित्व में है। न्यूनतम मान शून्य होने का अर्थ है कि परवलय x-अक्ष को अपने शीर्ष पर स्पर्श करता है; अतः विविक्तकर शून्य होना चाहिए। इसलिए (p+2)²−4(1)(5)=0, जिससे (p+2)²=20 मिलता है। दोनों वर्गमूल लेने पर p+2=±2√5 और p=−2±2√5 प्राप्त होता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में −2 का स्थानांतरण छूट गया है, विकल्प C केवल स्थानांतरण को रखता है और दोनों संभावनाएँ नहीं देता, जबकि विकल्प D विविक्तकर समीकरण से गलत मान निकालता है।
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