If (f(x)=\sqrt{x}) and (g(x)=\sqrt{1-x}), what is the domain of ((f+g)(x))?यदि (f(x)=\sqrt{x}) और (g(x)=\sqrt{1-x}) हों, तो ((f+g)(x)) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( [0,1] )( [0,1] )
The direct answer is option A: \([0,1]\). A square root is defined over the reals only when its radicand is nonnegative. For \(f(x)=\sqrt{x}\), require \(x\ge0\). For \(g(x)=\sqrt{1-x}\), require \(1-x\ge0\), so \(x\le1\). Both functions must exist because they are being added. The intersection of \(x\ge0\) and \(x\le1\) is \(0\le x\le1\), or \([0,1]\). Option A is correct and includes endpoints because both radicands are allowed to be zero. Option B wrongly excludes 0 and 1. Option C includes values greater than 1, where \(\sqrt{1-x}\) is not real. Option D includes negative values, where \(\sqrt{x}\) is not real. For sums, intersect the individual domains.सीधा उत्तर विकल्प A है: \([0,1]\)। वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर की संख्या शून्य या धनात्मक होनी चाहिए। \(f(x)=\sqrt{x}\) से शर्त मिलती है \(x\ge0\)। \(g(x)=\sqrt{1-x}\) के लिए \(1-x\ge0\), इसलिए \(x\le1\)। दोनों फलनों का योग तभी परिभाषित होगा जब दोनों शर्तें एक साथ पूरी हों। इन शर्तों का प्रतिच्छेद \(0\le x\le1\), अर्थात् \([0,1]\), है। विकल्प A सही है और सिरों 0 तथा 1 को शामिल करता है, क्योंकि वहाँ संबंधित मूल के अंदर का मान शून्य हो सकता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि वह सिरों को अनावश्यक रूप से हटा देता है। विकल्प C में 1 से बड़ी संख्याएँ हैं, जहाँ \(\sqrt{1-x}\) वास्तविक नहीं है। विकल्प D में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जहाँ \(\sqrt{x}\) वास्तविक नहीं है। याद रखें: योग के प्रांत के लिए अलग-अलग प्रांतों का प्रतिच्छेद लें।
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