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If \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\) and \(g(x)=x^2+1\), what is the range of the product function \((fg)(x)\)?यदि \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\) और \(g(x)=x^2+1\) हैं, तो गुणनफल फलन \((fg)(x)\) का परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\{1\}\)\(\{1\}\)
The product is \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\). Since \(x^2+1\) is never zero, the product is defined for every real \(x\), but its value is always 1. Hence, its range is only \(\{1\}\). Exam tip: simplify the product first and check whether it becomes a constant function.दोनों फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\) है। चूँकि \(x^2+1\) कभी शून्य नहीं होता, यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और इसका मान हमेशा 1 रहता है। इसलिए परिसर केवल \(\{1\}\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले फलनों का गुणनफल सरल करके स्थिर फलन पहचानें।
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