If f(x)=√(4−x) and g(x)=1/√x, what is the domain of (fg)(x)?यदि f(x)=√(4−x) और g(x)=1/√x हों, तो (fg)(x) का प्रांत क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (0,4](0,4]
The governing concept is intersection of all domain restrictions, with special care when a square root occurs in a denominator. For f(x)=√(4−x), require 4−x≥0, which gives x≤4. For g(x)=1/√x, the radicand first requires x≥0, but √x is also the denominator, so it cannot be zero. Consequently the stronger condition is x>0. Combining x>0 with x≤4 gives 0<x≤4, or the interval (0,4]. Thus option A is correct. Option B wrongly includes x=0, where g is undefined. Option C wrongly excludes x=4, although f(4)=0 is valid. Option D reverses the restriction from f and includes values greater than 4, where √(4−x) is not real.मुख्य अवधारणा सभी प्रांत-प्रतिबंधों का प्रतिच्छेद लेना है, विशेषकर तब जब वर्गमूल हर में उपस्थित हो। f(x)=√(4−x) के लिए 4−x≥0 चाहिए, इसलिए x≤4। g(x)=1/√x के लिए वर्गमूल वास्तविक होने हेतु x≥0 चाहिए, लेकिन √x हर में है और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए यहाँ अधिक कड़ी शर्त x>0 होगी। दोनों शर्तों को मिलाने पर 0<x≤4 प्राप्त होता है, जिसका अंतराल (0,4] है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में x=0 को गलत रूप से शामिल किया गया है, जहाँ g परिभाषित नहीं है। विकल्प C वैध सिरा x=4 हटा देता है, क्योंकि f(4)=0 स्वीकार्य है। विकल्प D x≤4 की दिशा उलट देता है और ऐसे मान शामिल करता है जिन पर √(4−x) वास्तविक नहीं है।
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