If \(f(x)=x^2-3x+2\) and \(g(x)=x-1\), what is the correct form of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?यदि \(f(x)=x^2-3x+2\) और \(g(x)=x-1\) हों, तो \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) का सही रूप क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (x-2,\ x\ne 1)(x-2,\ x\ne 1)
The direct answer is option A: \(x-2\), with \(x\ne1\). Function division means \(\left(\frac fg\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Factor the numerator: \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Hence \(\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2\), but only where the original denominator is nonzero. Since \(g(x)=x-1\), we must exclude \(x=1\), even though cancellation simplifies the expression. Option A includes both the correct rule and restriction. Option B wrongly allows x=1. Option C has the wrong factor and sign. Option D gives the wrong simplified expression and wrongly excludes 2 instead of 1. Important lesson: simplifying a quotient does not restore a value where the original denominator was zero.सीधा उत्तर विकल्प A है: \(x-2\), जहाँ \(x\ne1\)। फलनों का भाग \(\left(\frac fg\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) होता है। अंश का गुणनखंड करें: \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\)। इसलिए \(\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2\), लेकिन केवल उन x के लिए जहाँ मूल हर शून्य न हो। क्योंकि \(g(x)=x-1\), इसलिए \(x=1\) निकालना आवश्यक है। विकल्प A सही सरलीकरण और सही प्रतिबंध दोनों देता है। विकल्प B में x=1 को अनुमति दी गई है, जो गलत है। विकल्प C में गलत गुणनखंड और चिह्न है। विकल्प D में सरलीकरण गलत है और 1 के बजाय 2 को हटाया गया है। मुख्य बात: हर को काट देने के बाद भी मूल हर के शून्य मान को वापस शामिल नहीं किया जाता।
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